Calcolo Esempi

$\frac{1}{2} x^{2} - x$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{2} x^{2} - x$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.3

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.4

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x - 1$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 1 + 0$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 1$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x - 1 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2.3

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2.4

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = x - 1$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x - 1$ .

$x - 1$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$1$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{2} \cdot 1 - (1)$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - (1)$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 11.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 2}{2}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (1) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (1) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$ .

$(1, - \frac{1}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 13