Calcolo Esempi

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Passaggio 1

Scrivi $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ come funzione.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 64 x$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $96$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $96 x$ rispetto a $x$ è $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $96$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 64$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $12 x^{2} - 72 x + 96$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Passaggio 5.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 64 x$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $4$ da $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $4$ da $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi $4$ da $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Passaggio 6.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Passaggio 6.2.1.6

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Passaggio 6.2.1.7

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 6.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 6.2.2.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Passaggio 6.2.2.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Passaggio 6.2.2.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Passaggio 6.2.2.3.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Passaggio 6.2.2.3.5

Sottrai $9$ da $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Passaggio 6.2.2.3.6

Moltiplica $24$ per $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Passaggio 6.2.2.3.7

Somma $- 8$ e $24$ .

$16 - 16$

Passaggio 6.2.2.3.8

Sottrai $16$ da $16$ .

$0$

Passaggio 6.2.2.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Passaggio 6.2.2.5

Dividi $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Passaggio 6.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Passaggio 6.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 6.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 6.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 6.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 6.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Passaggio 6.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 6.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 6.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 6.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Passaggio 6.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Passaggio 6.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 6.2.2.6

Scrivi $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ come insieme di fattori.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Passaggio 6.2.3.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Passaggio 6.2.3.1.3

Riscrivi il polinomio.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Passaggio 6.2.3.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6.5

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi ${(x - 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ vera.

$x = 1, 4$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 1, 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 96$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 96$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 72 \cdot 1 + 96$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 72$ per $1$ .

$12 - 72 + 96$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $72$ da $12$ .

$- 60 + 96$

Passaggio 10.2.2

Somma $- 60$ e $96$ .

$36$

Passaggio 11

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Passaggio 12.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Passaggio 12.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

Passaggio 12.2.1.5

Moltiplica $48$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

Passaggio 12.2.1.6

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64$

Passaggio 12.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Sottrai $12$ da $1$ .

$f (1) = - 11 + 48 - 64$

Passaggio 12.2.2.2

Somma $- 11$ e $48$ .

$f (1) = 37 - 64$

Passaggio 12.2.2.3

Sottrai $64$ da $37$ .

$f (1) = - 27$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 27$ .

$y = - 27$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 96$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 96$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $12$ per $16$ .

$192 - 72 \cdot 4 + 96$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $- 72$ per $4$ .

$192 - 288 + 96$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $288$ da $192$ .

$- 96 + 96$

Passaggio 14.2.2

Somma $- 96$ e $96$ .

$0$

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Passaggio 15.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Passaggio 15.2.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Passaggio 15.2.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Passaggio 15.2.2.1.5

Moltiplica $96$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Passaggio 15.2.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Passaggio 15.2.2.2.3

Sottrai $64$ da $0$ .

$f' (0) = - 64$

Passaggio 15.2.2.3

La risposta finale è $- 64$ .

$- 64$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(1, 4)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Passaggio 15.3.2.1.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f' (2) = 32 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Passaggio 15.3.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 \cdot 4 + 96 (2) - 64$

Passaggio 15.3.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $4$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 96 (2) - 64$

Passaggio 15.3.2.1.5

Moltiplica $96$ per $2$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 192 - 64$

Passaggio 15.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.1

Sottrai $144$ da $32$ .

$f' (2) = - 112 + 192 - 64$

Passaggio 15.3.2.2.2

Somma $- 112$ e $192$ .

$f' (2) = 80 - 64$

Passaggio 15.3.2.2.3

Sottrai $64$ da $80$ .

$f' (2) = 16$

Passaggio 15.3.2.3

La risposta finale è $16$ .

$16$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Passaggio 15.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $216$ .

$f' (6) = 864 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Passaggio 15.4.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = 864 - 36 \cdot 36 + 96 (6) - 64$

Passaggio 15.4.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $36$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 96 (6) - 64$

Passaggio 15.4.2.1.5

Moltiplica $96$ per $6$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 576 - 64$

Passaggio 15.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.1

Sottrai $1296$ da $864$ .

$f' (6) = - 432 + 576 - 64$

Passaggio 15.4.2.2.2

Somma $- 432$ e $576$ .

$f' (6) = 144 - 64$

Passaggio 15.4.2.2.3

Sottrai $64$ da $144$ .

$f' (6) = 80$

Passaggio 15.4.2.3

La risposta finale è $80$ .

$80$

Passaggio 15.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 1$ , allora $x = 1$ è un minimo locale.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 15.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 4$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ .

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 16