Calcolo Esempi

$(x^{2} - 2 x) e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $(x^{2} - 2 x) e^{x}$ come funzione.

$f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 2 x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Passaggio 2.4.3.2

Somma $- 2 x e^{x}$ e $e^{x} (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Passaggio 2.4.3.2.2

Somma $- 2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Passaggio 2.4.3.3

Somma $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$

Passaggio 2.4.5

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} e^{x}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 e^{x}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina i termini.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 e^{x}$

Passaggio 3.4.2

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 2 x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 5.1.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1)$

Passaggio 5.1.3.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Passaggio 5.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Passaggio 5.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.3.1

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Passaggio 5.1.4.3.2

Somma $- 2 x e^{x}$ e $e^{x} (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.3.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Passaggio 5.1.4.3.2.2

Somma $- 2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Passaggio 5.1.4.3.3

Somma $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Passaggio 5.1.4.4

Riordina i termini.

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$

Passaggio 5.1.4.5

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $e^{x}$ da $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x} = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- 2 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 2 = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 2$ .

$e^{x} (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 6.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 6.5

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 6.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 6.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 6.5.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 6.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (x^{2} - 2) = 0$ vera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

${(\sqrt{2})}^{2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 10.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 10.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 10.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2}{2}} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 10.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{1} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 10.1.5

Calcola l'esponente.

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $2 e^{\sqrt{2}}$ da $2 e^{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

Passaggio 10.2.2

Somma $2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ e $0$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 11

$x = \sqrt{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{2}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{2}) = ({(\sqrt{2})}^{2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 12.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 12.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 12.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 12.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ .

$y = 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{1} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14.1.4.5

Calcola l'esponente.

$2 e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $2 e^{- \sqrt{2}}$ da $2 e^{- \sqrt{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

Passaggio 14.2.2

Somma $- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ e $0$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 15

$x = - \sqrt{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \sqrt{2}$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = ({(- \sqrt{2})}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (1 {\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ .

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ .

$(\sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}})$ è un minimo locale

$(- \sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}})$ è un massimo locale

Passaggio 18