Calcolo Esempi

${(x^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(x^{2} - 4)}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x + 0)$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x)$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (x^{2} - 4) x$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 2.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 2.3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 2.3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 2.3.3.4

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 16 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 5.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 5.1.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x + 0)$

Passaggio 5.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x)$

Passaggio 5.1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (x^{2} - 4) x$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x$

Passaggio 5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 5.1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 5.1.3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 5.1.3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 5.1.3.3.4

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(0)}^{2} - 16$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0 - 16$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 - 16$

Passaggio 10.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$- 16$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = {(0 - 4)}^{2}$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f (0) = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 12.2.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (0) = 16$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $16$ .

$y = 16$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(- 2)}^{2} - 16$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 4 - 16$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $12$ per $4$ .

$48 - 16$

Passaggio 14.2

Sottrai $16$ da $48$ .

$32$

Passaggio 15

$x = - 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {({(- 2)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = {(4 - 4)}^{2}$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (- 2) = 0^{2}$

Passaggio 16.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (- 2) = 0$

Passaggio 16.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(2)}^{2} - 16$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 4 - 16$

Passaggio 18.1.2

Moltiplica $12$ per $4$ .

$48 - 16$

Passaggio 18.2

Sottrai $16$ da $48$ .

$32$

Passaggio 19

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = {({(2)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = {(4 - 4)}^{2}$

Passaggio 20.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (2) = 0^{2}$

Passaggio 20.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (2) = 0$

Passaggio 20.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$(0, 16)$ è un massimo locale

$(- 2, 0)$ è un minimo locale

$(2, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 22