Calcolo Esempi

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $15 x^{4} - 15 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $15 u$ da $15 u^{2} - 15 u$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $15 u$ da $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $15 u$ da $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Scomponi $15 u$ da $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.5.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 5 \cdot 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$0 + 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$3 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{3} + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 5 {(1)}^{3} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 - 5 \cdot 1 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$3 - 5 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $5$ da $3$ .

$- 2 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$3 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 3 - 5 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$- 3 + 5 + 1$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Somma $- 3$ e $5$ .

$2 + 1$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$3$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 1), (1, - 1), (- 1, 3)$

Passaggio 5