Calcolo Esempi

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x^{2} + b x + c$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x^{2}$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [b x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $b x$ rispetto a $x$ è $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $b$ per $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 a x + b + 0$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Somma $2 a x + b$ e $0$ .

$2 a x + b$

Passaggio 1.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = b + 2 a x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $b + 2 a x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $b$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 a x = - b$

Passaggio 2.3

Dividi per $2 a$ ciascun termine in $2 a x = - b$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2 a$ ciascun termine in $2 a x = - b$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $a x^{2} + b x + c$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- \frac{b}{2 a}$ a $x$ .

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $2 a$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Scomponi $a$ da ${(- 1)}^{2} a$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Scomponi $a$ da $2^{2} a^{2}$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.4

${(- 1)}^{2}$ e $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1.5.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Moltiplica $b^{2}$ per $1$ .

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Passaggio 4.1.2.1.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

Passaggio 4.1.2.1.8

Moltiplica $- b \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.8.1

$\frac{b}{2 a}$ e $b$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

Passaggio 4.1.2.1.8.2

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

Passaggio 4.1.2.1.8.3

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

Passaggio 4.1.2.1.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

Passaggio 4.1.2.1.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- \frac{b^{2}}{2 a}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

Passaggio 4.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4 a$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{b^{2}}{2 a}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1.1

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} - b^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Passaggio 4.1.2.5.1.1.2

Scomponi $b^{2}$ da $- b^{2} \cdot 2$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Passaggio 4.1.2.5.1.1.3

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Passaggio 4.1.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

Passaggio 4.1.2.5.1.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $b^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

Passaggio 4.1.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

Passaggio 5