Calcolo Esempi

ln (5) + \frac{1}{2} \cdot ln (x + 3) - 3 ln (1 + \sqrt{x})

$\ln (5) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + 3) - 3 \ln (1 + \sqrt{x})$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica

\frac{1}{2} ln (x + 3)

$\frac{1}{2} \ln (x + 3)$ spostando

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

ln (5) + ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 ln (1 + \sqrt{x})

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \ln (1 + \sqrt{x})$

Passaggio 1.2

Semplifica

- 3 ln (1 + \sqrt{x})

$- 3 \ln (1 + \sqrt{x})$ spostando

3

$3$ all'interno del logaritmo.

ln (5) + ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

ln (5) + ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi,

{log}_{b} (x) + {log}_{b} (y) = {log}_{b} (x y)

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

ln (5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})

$\ln (5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

ln ⎛ ⎝ \frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \sqrt{x})}^{3}} ⎞ ⎠

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \sqrt{x})}^{3}})$

Passaggio 4

Usa il teorema binomiale.

ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1 \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5.3

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5.4

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5.5

Riscrivi

${\sqrt{x}}^{2}$ come

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{x}$ come

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5.5.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5.5.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{1} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5.5.5

Semplifica.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + {\sqrt{x}}^{3}})$

Passaggio 5.6

Riscrivi

${\sqrt{x}}^{3}$ come

$\sqrt{x^{3}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + \sqrt{x^{3}}})$

Passaggio 5.7

Metti in evidenza

$x^{2}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + \sqrt{x^{2} x}})$

Passaggio 5.8

Estrai i termini dal radicale.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + x \sqrt{x}})$

Passaggio 6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{x}$ come

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x \sqrt{x}})$

Passaggio 6.2

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{x}$ come

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica

$x$ per

$x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica

$x$ per

$x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 6.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{1 + \frac{1}{2}}})$

Passaggio 6.3.2

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Passaggio 6.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Passaggio 6.3.4

Somma

$2$ e

$1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 6.4

Riordina i termini.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Passaggio 6.5

Riscrivi

$3 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi

$3 x^{\frac{1}{2}}$ da

$3 x + 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Scomponi

$3 x^{\frac{1}{2}}$ da

$3 x$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Passaggio 6.5.1.2

Scomponi

$3 x^{\frac{1}{2}}$ da

$3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} (1) + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Passaggio 6.5.1.3

Scomponi

$3 x^{\frac{1}{2}}$ da

$3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Passaggio 6.5.2

Riscrivi

$x^{\frac{3}{2}}$ come

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1})$

Passaggio 6.5.3

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1^{3}})$

Passaggio 6.5.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi,

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove

$a = x^{\frac{1}{2}}$ e

$b = 1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Passaggio 6.5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.1

Moltiplica gli esponenti in

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Passaggio 6.5.5.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Passaggio 6.5.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{1} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Passaggio 6.5.5.2

Semplifica.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Passaggio 6.5.5.3

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1^{2})})$

Passaggio 6.5.5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Passaggio 6.5.6

Scomponi

$x^{\frac{1}{2}} + 1$ da

$3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.1

Scomponi

$x^{\frac{1}{2}} + 1$ da

$3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Passaggio 6.5.6.2

Scomponi

$x^{\frac{1}{2}} + 1$ da

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Passaggio 6.5.7

Sottrai

$x^{\frac{1}{2}}$ da

$3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Passaggio 6.5.8

Riscrivi

$x$ come

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Passaggio 6.5.9

Sia

$u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di

$x^{\frac{1}{2}}$ con

$u$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 u + 1)})$

Passaggio 6.5.10

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.10.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 u + 1^{2})})$

Passaggio 6.5.10.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 6.5.10.3

Riscrivi il polinomio.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})})$

Passaggio 6.5.10.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove

$a = u$ e

$b = 1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) {(u + 1)}^{2}})$

Passaggio 6.5.11

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}})$

Passaggio 7

Moltiplica

$x^{\frac{1}{2}} + 1$ per

${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica

$x^{\frac{1}{2}} + 1$ per

${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Eleva

$x^{\frac{1}{2}} + 1$ alla potenza di

$1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}})$

Passaggio 7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{1 + 2}})$

Passaggio 7.2

Somma

$1$ e

$2$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}})$