Calcolo Esempi

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

Passaggio 1

La funzione $f (x)$ può essere trovata calcolando l'integrale indefinito della derivata $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \frac{1}{3} x$ . Allora $d u = \frac{1}{3} d x$ , quindi $3 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \frac{1}{3} x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Passaggio 4.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 5

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\int \csc^{2} (u) d u$ per $1$ .

$\int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $- \cot (u)$ è $\csc^{2} (u)$ , l'integrale di $\csc^{2} (u)$ è $- \cot (u)$ .

$- \cot (u) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{3} x$ .

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Passaggio 9

La funzione $f$ se derivata dall'integrale della derivata della funzione. Questo è valido per il teorema fondamentale del calcolo.

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$