Calcolo Esempi

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ come $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$\int (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 4.3.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Passaggio 4.3.1.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Passaggio 4.3.1.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Passaggio 4.3.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Passaggio 4.3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$\int x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} d x + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 8.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 8.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C - x^{- 1} + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$