Calcolo Esempi

$R' (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 1

La funzione $R (x)$ può essere trovata calcolando l'integrale indefinito della derivata $R' (x)$ .

$R (x) = \int R' (x) d x$

Passaggio 2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x^{2} + 27000$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x^{2} + 27000$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{2} + 27000$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 27000$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $27000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$u^{- \frac{2}{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Semplifica.

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Passaggio 6.1.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 6.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 6.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 6.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 6.1.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 6.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Sposta $u^{\frac{2}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Passaggio 6.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Passaggio 6.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Passaggio 6.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{2}{3}}$ rispetto a $u$ è $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ come $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 27000$ .

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 10

La funzione $R$ se derivata dall'integrale della derivata della funzione. Questo è valido per il teorema fondamentale del calcolo.

$R (x) = 6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$