Calcolo Esempi

$\frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}$ come funzione.

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Passaggio 4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Passaggio 5

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 5.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Passaggio 5.1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 5.1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Passaggio 5.1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 5.1.5

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 5.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 5.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 5.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 5.1.6.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 5.1.6.2

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Passaggio 5.1.6.2.1

Scomponi $x + 1$ da $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.1.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Passaggio 5.1.6.2.2.4

Dividi $B (x + 1)$ per $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Passaggio 5.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Passaggio 5.1.6.4

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A + B x + B$

Passaggio 5.1.7

Riordina $A$ e $B x$ .

$1 = B x + A + B$

Passaggio 5.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 5.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B$

Passaggio 5.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 5.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Passaggio 5.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi l'equazione come $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $0$ in ogni equazione.

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Passaggio 5.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $1 = A + B$ con $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica $1 = A + 0$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.2.2.1

Somma $A$ e $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Passaggio 5.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = 1 B = 0$

Passaggio 5.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, B = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi $0$ per $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Passaggio 5.5.2

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$4 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Passaggio 6

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \int u^{- 2} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$4 (- u^{- 1} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $4 (- u^{- 1} + C)$ come $4 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$4 (- \frac{1}{u}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \frac{1}{u} + C$

Passaggio 9.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 4}{u} + C$

Passaggio 9.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{u} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- \frac{4}{x + 1} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x + 1} + C$