Calcolo Esempi

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

Passaggio 1

La funzione $s (t)$ può essere trovata calcolando l'integrale indefinito della derivata $s' (t)$ .

$s (t) = \int s' (t) d t$

Passaggio 2

Sia $u = t - 1$ . Allora $d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = t - 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int (u + 1) u^{2} d u$

Passaggio 3

Espandi $(u + 1) u^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

Passaggio 3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

Passaggio 3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $2$ .

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

Passaggio 3.5

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t - 1$ .

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

Passaggio 9

La funzione $s$ se derivata dall'integrale della derivata della funzione. Questo è valido per il teorema fondamentale del calcolo.

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$