Calcolo Esempi

$\cos^{3} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\cos^{3} (x)$ come funzione.

$f (x) = \cos^{3} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \cos^{3} (x) d x$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 5

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Passaggio 6

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$u + C - \int u^{2} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$