Calcolo Esempi

$f (x) = e^{- 3 x}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 3

Sia $u = - 3 x$ . Allora $d u = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = - 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 4.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x$ .

$- \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{- 3 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$