Calcolo Esempi

$f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{7 x} d x + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 7 x$ . Allora $d u_{1} = 7 d x$ , quindi $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 7 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Passaggio 5

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Passaggio 8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (3 x) d x$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = 3 x$ . Allora $d u_{2} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 10

$\sec^{2} (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{3} d u_{2}$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 (\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 12

$\frac{1}{3}$ e $5$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 13

Poiché la derivata di $\tan (u_{2})$ è $\sec^{2} (u_{2})$ , l'integrale di $\sec^{2} (u_{2})$ è $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} (\tan (u_{2}) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$\frac{1}{7} e^{u_{1}} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $7 x$ .

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$