Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Passaggio 9

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 10

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 10.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 10.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 10.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} + 7 (- x^{- 1}) + C$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- 1} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- 1} + C$