Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}} d x$

Passaggio 3

Sposta $x^{6}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

Passaggio 4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6} d x$

Passaggio 5

Espandi $(5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (5 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Passaggio 5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Passaggio 5.4

Sottrai $6$ da $3$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Passaggio 5.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6 - 6} d x$

Passaggio 5.6

Sottrai $6$ da $6$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{0} d x$

Passaggio 5.7

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 \cdot 1 d x$

Passaggio 5.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 d x$

Passaggio 5.9

Riordina $5 x^{- 6}$ e $- 4 x^{- 3}$ .

$\int - 4 x^{- 3} + 5 x^{- 6} + 2 d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Passaggio 7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Passaggio 9.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Passaggio 10

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 2 d x$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

$x^{- 5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 2 d x$

Passaggio 12.2

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 2 d x$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 2 x + C$

Passaggio 14

Semplifica.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$