Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3

Riordina $2$ e $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

Riordina $1$ e $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Dividi $x^{2} + 2$ per $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									+	$1$

Passaggio 5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$x + C + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$x + C + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 8.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x + C + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$x + C + \arctan (x) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$x + \arctan (x) + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x + \arctan (x) + C$