Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Passaggio 3.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$