Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{3 x}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{3 x} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 4

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$