Calcolo Esempi

$f (x) = (3 x - 5) (2 x + 4)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int (3 x - 5) (2 x + 4) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 3 x (2 x + 4) - 5 (2 x + 4) d x$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 3 x (2 x) + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x + 4) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int 3 x (2 x) + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Passaggio 3.4

Sposta $x$ .

$\int 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Passaggio 3.5

Sposta $x$ .

$\int 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 \cdot 4 x - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Passaggio 3.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\int 6 x \cdot x + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Passaggio 3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 6 (x^{1} x) + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Passaggio 3.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 6 (x^{1} x^{1}) + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Passaggio 3.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Passaggio 3.10

Somma $1$ e $1$ .

$\int 6 x^{2} + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Passaggio 3.11

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Passaggio 3.12

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 10 x - 5 \cdot 4 d x$

Passaggio 3.13

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 10 x - 20 d x$

Passaggio 3.14

Sottrai $10 x$ da $12 x$ .

$\int 6 x^{2} + 2 x - 20 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 6 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Passaggio 5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x + \int - 20 d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 20 d x$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

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Passaggio 10.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

Passaggio 10.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 20 x + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$2 x^{3} + x^{2} - 20 x + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = (3 x - 5) (2 x + 4)$ .

$F (x) =$ $2 x^{3} + x^{2} - 20 x + C$