Calcolo Esempi

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = \cot (π x)$ . Allora $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ , quindi $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = \cot (π x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\cot (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 3.1.2.2

La derivata di $\cot (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 3.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $π x$ .

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia.

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1.3.3.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$- \csc^{2} (π x) π$

Passaggio 3.1.3.3.2

Riordina i fattori di $- \csc^{2} (π x) π$ .

$- π \csc^{2} (π x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Passaggio 4

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 12.2.1

Scomponi $π$ da $- π \cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Passaggio 12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Passaggio 12.3

$\frac{1}{π}$ e $e^{\cot (π x)}$ .

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ .

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$