Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 5

$\sin^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{8} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 8

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 11

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{16} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 14

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 14.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 14.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 14.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 14.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 14.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 15

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 16

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 17

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Passaggio 18

Semplifica.

$\frac{1}{16} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 19

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 19.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 19.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Passaggio 19.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 20.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Passaggio 20.1.2

$\sin (4 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 20.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 20.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 20.3.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 20.3.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 20.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 20.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 20.4

$\frac{1}{8}$ e $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 20.5

Moltiplica $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ .

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Passaggio 20.5.1

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{16 \cdot 2} + C$

Passaggio 20.5.2

Moltiplica $16$ per $2$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

Passaggio 21

Riordina i termini.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

Passaggio 22

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$