Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x \sqrt{7 x^{2} + 2} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 7 x^{2} + 2$ . Allora $d u = 14 x d x$ , quindi $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 7 x^{2} + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 2]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$14 x + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $14 x$ e $0$ .

$14 x$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{14} d u$

Passaggio 4

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{14} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{14}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{14}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{14} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{14} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{1}{14}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{14 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $14$ per $3$ .

$\frac{2}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $42$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $42$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$