Calcolo Esempi

$\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Passaggio 4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$10 \int \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 3 - 5 x$ . Allora $d u = - 5 d x$ , quindi $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 3 - 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$0 - 5$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $5$ da $0$ .

$- 5$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{5}$ .

$10 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Passaggio 6.3

Sposta $5$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$10 (- \int \frac{1}{5 u^{2}} d u)$

Passaggio 8

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$- 10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

$\frac{1}{5}$ e $- 10$ .

$\frac{- 10}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 10.1.2

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Scomponi $5$ da $- 10$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 10.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 10.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 10.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 10.1.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 10.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 10.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 10.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi $- 2 (- u^{- 1} + C)$ come $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

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Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

Passaggio 12.2.2

$2$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - 5 x$ .

$\frac{2}{3 - 5 x} + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3 - 5 x} + C$