Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 5

Poiché la derivata di $\sec (x)$ è $\sec (x) \tan (x)$ , l'integrale di $\sec (x) \tan (x)$ è $\sec (x)$ .

$2 (\sec (x) + C) + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$2 (\sec (x) + C) - 2 \int x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 8.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Passaggio 8.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$2 \sec (x) - \frac{x^{4}}{2} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$2 \sec (x) - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$F (x) =$ $2 \sec (x) - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$