Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

Passaggio 2.1.2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.1.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

Passaggio 2.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

Passaggio 2.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2}$

Passaggio 2.1.2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

Passaggio 2.1.2.6

La risposta finale è $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

Passaggio 2.2

Riordina.

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Passaggio 2.2.1

Sposta $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2}$

Passaggio 2.2.2

Riordina $h x$ e $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Sottrai $\frac{x^{2}}{2}$ da $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 0}{h}$

Passaggio 4.1.2

Somma $\frac{h^{2}}{2} + h x$ e $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $h$ da $\frac{h^{2}}{2} + h x$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Scomponi $h$ da $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h \frac{h}{2} + h x}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Scomponi $h$ da $h x$ .

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x)}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Scomponi $h$ da $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x)}{h}$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{h}$

Passaggio 4.1.5

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{h}$

Passaggio 4.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{h \frac{h + x \cdot 2}{2}}{h}$

Passaggio 4.1.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{h \frac{h + 2 x}{2}}{h}$

Passaggio 4.2

$h$ e $\frac{h + 2 x}{2}$ .

$\frac{\frac{h (h + 2 x)}{2}}{h}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{h + 2 x}{2}$

Passaggio 5