Calcolo Esempi

$f (x) = x \ln (x) - x$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = (x + h) \ln (x + h) - (x + h)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$ .

$x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$

Passaggio 2.2

Riordina.

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Passaggio 2.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$x \ln (h + x) + h \ln (x + h) - x - h$

Passaggio 2.2.2

Riordina $x$ e $h$ .

$x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x - h$

Passaggio 2.2.3

Sposta $h \ln (h + x)$ .

$x \ln (h + x) - x - h + h \ln (h + x)$

Passaggio 2.2.4

Sposta $x \ln (h + x)$ .

$- x - h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

Passaggio 2.2.5

Riordina $- x$ e $- h$ .

$- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = - h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

$f (x) = (x) \ln (x) - x$

$f (x + h) = - h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

$f (x) = (x) \ln (x) - x$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - ((x) \ln (x) - x)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - ((x) \ln (x)) - - x}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- - x$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + 1 x}{h}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + x}{h}$

Passaggio 4.1.3

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + 0}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x)$ e $0$ .

$\frac{- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Passaggio 4.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $- 1$ da $x \ln (h + x)$ .

$\frac{- h - (- x \ln (h + x)) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $- 1$ da $- h - (- x \ln (h + x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x)) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $- 1$ da $h \ln (h + x)$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x)) - (- h \ln (h + x)) - x \ln (x)}{h}$

Passaggio 4.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (h - x \ln (h + x)) - (- h \ln (h + x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - x \ln (x)}{h}$

Passaggio 4.2.5

Scomponi $- 1$ da $- x \ln (x)$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - (x \ln (x))}{h}$

Passaggio 4.2.6

Scomponi $- 1$ da $- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - (x \ln (x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))}{h}$

Passaggio 4.2.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.7.1

Riscrivi $- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))$ come $- 1 (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))$ .

$\frac{- 1 (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))}{h}$

Passaggio 4.2.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x)}{h}$

Passaggio 5