Calcolo Esempi

$f (x) = {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(2 (x + h) - 1)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = {(2 x + 2 h - 1)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Riscrivi ${(2 x + 2 h - 1)}^{2}$ come $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ .

$f (x + h) = (2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$

Passaggio 2.1.2.2

Espandi $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f (x + h) = 2 x (2 x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Sposta $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 \cdot (2 x h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 \cdot (2 h x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h \cdot h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.10

Moltiplica $h$ per $h$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.10.1

Sposta $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 (h \cdot h)) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.10.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h^{2}) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.11

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Passaggio 2.1.2.4

Somma $4 x h$ e $4 h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 h x + 4 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Passaggio 2.1.2.4.2

Somma $4 h x$ e $4 h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Passaggio 2.1.2.5

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 1$

Passaggio 2.1.2.6

Sottrai $2 h$ da $- 2 h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Passaggio 2.1.2.7

La risposta finale è $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Passaggio 2.2.2

Riordina $8 h x$ e $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $4 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 0 + 4 x - 1}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $4 h^{2}$ e $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 4 x - 1}{h}$

Passaggio 4.1.5

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0 + 1 - 1}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $4 h^{2}$ e $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 1 - 1}{h}$

Passaggio 4.1.7

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.8

Somma $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ e $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h}{h}$

Passaggio 4.1.9

Scomponi $4 h$ da $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.1

Scomponi $4 h$ da $4 h^{2}$ .

$\frac{4 h \cdot h + 8 h x - 4 h}{h}$

Passaggio 4.1.9.2

Scomponi $4 h$ da $8 h x$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) - 4 h}{h}$

Passaggio 4.1.9.3

Scomponi $4 h$ da $- 4 h$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Passaggio 4.1.9.4

Scomponi $4 h$ da $4 h \cdot h + 4 h (2 x)$ .

$\frac{4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Passaggio 4.1.9.5

Scomponi $4 h$ da $4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1$ .

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $4 (h + 2 x - 1)$ per $1$ .

$4 (h + 2 x - 1)$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 h + 4 (2 x) + 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 h + 8 x + 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 h + 8 x - 4$

Passaggio 4.4

Riordina $4 h$ e $8 x$ .

$8 x + 4 h - 4$

Passaggio 5