Calcolo Esempi

$\cos (x y) = x - y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 - y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 1 - y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 1 - y'$

Passaggio 5.2

Somma $y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) + y' = 1$

Passaggio 5.3

Somma $y \sin (x y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (x y) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $- x y' \sin (x y) + y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Passaggio 5.4.2

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1 = 1 + y \sin (x y)$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $y'$ da $y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1$ .

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$

Passaggio 5.5

Dividi per $- x \sin (x y) + 1$ ciascun termine in $y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $- x \sin (x y) + 1$ ciascun termine in $y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- x \sin (x y) + 1$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Passaggio 5.5.3.2

Scomponi $- 1$ da $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) + 1}$

Passaggio 5.5.3.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)}$

Passaggio 5.5.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) - 1)}$

Passaggio 5.5.3.5

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 5.5.3.5.1

Riscrivi $- (x \sin (x y) - 1)$ come $- 1 (x \sin (x y) - 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) - 1)}$

Passaggio 5.5.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$