Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{2}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Passaggio 2.1.2.6

La risposta finale è $- x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2}$

Passaggio 2.2.2

Riordina $- 2 h x$ e $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = - x^{2}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - (- x^{2})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 1 x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi $h^{2} + 2 h x + x^{2}$ come ${(h + x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 h x = 2 \cdot h \cdot x$

Passaggio 4.1.3.2

Riscrivi il polinomio.

$\frac{- (h^{2} + 2 \cdot h \cdot x + x^{2}) + x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = h$ e $b = x$ .

$\frac{- {(h + x)}^{2} + x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riordina $- {(h + x)}^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - {(h + x)}^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = h + x$ .

$\frac{(x + h + x) (x - (h + x))}{h}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{(2 x + h) (x - (h + x))}{h}$

Passaggio 4.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + h) (x - h - x)}{h}$

Passaggio 4.1.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{(2 x + h) (- h + 0)}{h}$

Passaggio 4.1.6.4

Somma $- h$ e $0$ .

$\frac{(2 x + h) \cdot - 1 h}{h}$

Passaggio 4.1.6.5

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- ((2 x + h) h)}{h}$

$\frac{- (2 x + h) h}{h}$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- (2 x + h) h}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $- (2 x + h)$ per $1$ .

$- (2 x + h)$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (2 x) - h$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x - h$

Passaggio 5