Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{4} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $4$ da ${(1 + h)}^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + h)}^{4} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h)}^{4} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{4} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{4} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{4} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(1 + h)}^{4} - 1$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{4}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{4}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{4}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = h^{4}$ e $g (h) = 1 + h$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(1 + h)}^{3} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(1 + h)}^{3} (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $1$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(1 + h)}^{3} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(1 + h)}^{3} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(1 + h)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(1 + h)}^{3} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(1 + h)}^{3} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $4 {(1 + h)}^{3}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(1 + h)}^{3}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(1 + h)}^{3}}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $4 {(1 + h)}^{3}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} 4 {(1 + h)}^{3}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$4 lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3}$

Passaggio 2.2

Sposta l'esponente $3$ da ${(1 + h)}^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$4 {(lim_{h \to 0} 1 + h)}^{3}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$4 {(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$4 {(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$4 {(1 + 0)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 \cdot 1^{3}$

Passaggio 4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$