Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} - \frac{2}{x}}{h}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{2}{x + h}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x}}{h}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- \frac{2}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{2}{x + h}$ per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(x + h) x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{x (x + h)} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Semplifica l'argomento del limite.

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}$ per $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h) h}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $\frac{1}{x}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Calcola il limite di $2 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 lim_{h \to 0} x + h}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + 0)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Passaggio 3.1.2.3

Combina i termini opposti in $2 x - 2 (x + 0)$ .

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Passaggio 3.1.2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 x}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} x + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 3.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 3.1.3.3

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 3.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 3.1.3.4.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot 0}$

Passaggio 3.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.5.1

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{x \cdot 0}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Moltiplica $x$ per $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 2 (x + h)$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $h$ è $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 2 (x + h)$ rispetto a $h$ è $- 2 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3.4.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $x$ rispetto a $h$ è $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3.4.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3.4.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3.5

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ è $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ dove $f (h) = x + h$ e $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $x + h$ per $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Passaggio 3.3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}$

Passaggio 3.3.10

Poiché $x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $x$ rispetto a $h$ è $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Passaggio 3.3.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 3.3.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \cdot 1}$

Passaggio 3.3.13

Moltiplica $h$ per $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h}$

Passaggio 3.3.14

Somma $h$ e $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + 2 h}$

Passaggio 3.3.15

Riordina i termini.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{2 h + x}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 lim_{h \to 0} \frac{1}{2 h + x}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

Passaggio 4.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} x}$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}$

Passaggio 4.6

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + x}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{x}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Passaggio 6.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{0 + x}$

Passaggio 6.3.2

Somma $0$ e $x$ .

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{2}{x \cdot x}$

Passaggio 6.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x}$

Passaggio 6.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x^{1}}$

Passaggio 6.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2}{x^{1 + 1}}$

Passaggio 6.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}}$