Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da ${(a - h)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite di $a$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.6

Calcola il limite di $5 a^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Combina i termini opposti in $5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.2.1

Somma $a$ e $0$ .

$\frac{5 a^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.7.2.2

Sottrai $5 a^{2}$ da $5 a^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi ${(a - h)}^{2}$ come $(a - h) (a - h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 ((a - h) (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Espandi $(a - h) (a - h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a (a - h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.4

Moltiplica $h$ per $h$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.4.1

Sposta $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.4.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.6

Moltiplica $h^{2}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.2

Sottrai $h a$ da $- a h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Sposta $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - 1 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.2.2

Sottrai $a h$ da $- a h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Calcola $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})$ rispetto a $h$ è $5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{2} - 2 a h + h^{2}$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6.3

Poiché $a^{2}$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $a^{2}$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6.4

Poiché $- 2 a$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 2 a h$ rispetto a $h$ è $- 2 a \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6.8

Sottrai $2 a$ da $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $- 5 a^{2}$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 5 a^{2}$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a) + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8.2.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8.2.3

Somma $- 10 a + 10 h$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $- 10 a + 10 h$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} - 10 a + 10 h$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- lim_{h \to 0} 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

Passaggio 2.2

Calcola il limite di $10 a$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- 10 a + 10 lim_{h \to 0} h$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- 10 a + 10 \cdot 0$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $10$ per $0$ .

$- 10 a + 0$

Passaggio 4.2

Somma $- 10 a$ e $0$ .

$- 10 a$