Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{2 - x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}{lim_{x \to 2} 2 - x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} 2 - x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} 2 - x}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 - x}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 - x}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 - x}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 + 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 - x}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{4 + 2 - 6}{lim_{x \to 2} 2 - x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 2} 2 - x}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 - x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 - lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{2 - x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{0 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{0 - 1}$

Passaggio 1.3.10

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{- 1}$

Passaggio 1.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 x + 1}{- 1}$ .

$lim_{x \to 2} - 1 \cdot (2 x + 1)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 2} 2 x + 1$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$- (lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1)$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- (2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1)$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$- (2 lim_{x \to 2} x + 1)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$- (2 \cdot 2 + 1)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- (4 + 1)$

Passaggio 4.2

Somma $4$ e $1$ .

$- 1 \cdot 5$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5$