Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (2 x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.5.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Sottrai $\sqrt{2}$ da $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.5.4

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.5.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{- 2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (2 x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Passaggio 2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Passaggio 2.7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2.4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Riduci l'espressione $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{1}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 4.3.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{1}$

Passaggio 4.4

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Passaggio 4.5

$\sqrt{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimale:

$- 0.70710678 \dots$