Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}) - \tan^{2} (x)$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $- \tan^{2} (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \tan^{2} (x) \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

$- \tan^{2} (x)$ e $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.3

Riscrivi $\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$ come $\frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.4

Imposta il limite come un limite sinistro.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5

Risolvi il limite sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.1.2

Per i valori $x$ tendenti a $\frac{π}{2}$ da sinistra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos^{2} (x)}}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.1.3.2

Poiché il numeratore è positivo e il denominatore $\cos^{2} (x)$ tende a zero ed è maggiore di zero per $x$ vicino a $\frac{π}{2}$ a sinistra, la funzione aumenta senza limite.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.4

Riordina i fattori di $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.6

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 \cos^{- 3} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.3.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.8.2

$2$ e $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.3.8.3

$\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) \frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.5.1

$\frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$ e $2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2}{2 \sin (x)} \sec^{2} (x) \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.5.2

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot 2}{2 \sin (x)}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x)}{2 \sin (x)} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.5.3

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x)}{2 \sin (x)}$ e $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \sec^{2} (x) \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.7.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.4

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.7.5.1

$\cos^{3} (x)$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.5.2

Moltiplica $\frac{\cos^{3} (x)}{\cos^{2} (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.5.3

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.7.5.3.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.7.5.3.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.5.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.5.3.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.7.6.1

Riduci l'espressione $\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.7.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.7.6.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.8

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.6

Imposta il limite come un limite destro.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7

Risolvi il limite destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.1.2

Per i valori $x$ tendenti a $\frac{π}{2}$ da destra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos^{- 2} (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\cos^{2} (x)}}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.1.3.2

Poiché il numeratore è positivo e il denominatore $\cos^{2} (x)$ tende a zero ed è maggiore di zero per $x$ vicino a $\frac{π}{2}$ a destra, la funzione aumenta senza limite.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.2

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\tan^{2} (x)}{\cos^{- 2} (x)} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.4

Riordina i fattori di $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.6

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{- 2 \cos^{- 3} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.3.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.8.2

$2$ e $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3.8.3

$\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) \frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.5.1

$\frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$ e $2$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2}{2 \sin (x)} \sec^{2} (x) \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.5.2

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot 2}{2 \sin (x)}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x)}{2 \sin (x)} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.5.3

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x)}{2 \sin (x)}$ e $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{2 \sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \sec^{2} (x) \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.7.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.4

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos^{3} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.7.5.1

$\cos^{3} (x)$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.5.2

Moltiplica $\frac{\cos^{3} (x)}{\cos^{2} (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.5.3

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.7.5.3.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.7.5.3.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.5.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.5.3.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.7.6.1

Riduci l'espressione $\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.7.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\cos^{3} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1}}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7.6.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.8

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.8

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.9.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.9.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \tan^{2} (x)$ e $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.6

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.4.8

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x)) + 2 \cos^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) - (\tan^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) - (2 \cos^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) + 2 (\tan^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))) - (2 \cos^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x))}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) + 2 \tan^{2} (x) \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.3

Riordina i termini.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \tan^{2} (x) \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.1

Aggiungi le parentesi.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \tan^{2} (x) (\cos (x) \sin (x)) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.2

Riordina $2 \tan^{2} (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \sin (x) (2 \tan^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.3

Aggiungi le parentesi.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \tan^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.4

Riordina $\cos (x)$ e $\sin (x) \cdot 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \tan^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.5

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) \tan^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.6

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x) \tan^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.7

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x) {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.9

$\sin (2 x)$ e $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (2 x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.10.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin (x) \cos (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.10.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.10.2.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.10.2.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.10.2.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.10.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.10.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.11

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.11.1

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos^{2} (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.11.2.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos (x) \cos (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos (x) \cos (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \cos^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.12

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \cos^{2} (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.13

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \cos^{2} (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.14

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.14.1

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) \cdot - 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.14.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) \cdot - 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.14.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \cdot 1^{2} \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.15

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \cdot 1 \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.16

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \tan (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.17

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.18

$- 2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.5.4.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.7

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{2 \cos (x) (- \sin (x))}$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 2.4.2

Per scrivere $\cos (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il termine $\frac{1}{- 2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $\frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2.7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)}$

Passaggio 3.2.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.3

Sposta l'esponente $3$ da $\sin^{3} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{3} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.7

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.9

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.9.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \cdot 1^{3} - 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.10.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 \cdot 1 - 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.10.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 - 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.10.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 - 2 \cdot 1 + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.10.1.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 - 2 + \cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.10.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 - 2 + 0^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.10.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{2 - 2 + 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.10.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.10.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Passaggio 4.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Passaggio 4.1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Passaggio 4.1.3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 4.1.3.5

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 4.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 4.1.3.6.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 4.1.3.6.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.6.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.6.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 3 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.3.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.5.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.5.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.5.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.6

Riordina i termini.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.7

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos^{2} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 4.3.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 4.3.9.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 4.3.9.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 4.3.10

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 4.3.10.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 4.3.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 4.3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 4.3.12

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}$

Passaggio 4.3.13

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.3.14

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) - 2 \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 4.3.15

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) - 2 \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x)}$

Passaggio 4.3.16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}$

Passaggio 4.3.17

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)}$

Passaggio 4.3.18

Riordina i termini.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{2} (x) \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.2

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.4

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.8

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.11

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.12

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.13

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.13.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.13.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.13.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.13.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.13.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.14.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \cdot 1^{2} \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \cdot 1 \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.1.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \cdot \cos (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{6 \cdot 0 - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.1.5

Moltiplica $6$ per $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 - 2 \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 - 2 \cdot 0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.1.7

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.1.8

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot 1 - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.1.9

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0 - 2 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.1.10

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.1.11

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.2.14.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.3.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.3.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.3.4

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.3.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.3.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{3} (x)}$

Passaggio 5.1.3.7

Sposta l'esponente $3$ da $\cos^{3} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{3}}$

Passaggio 5.1.3.8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \cos^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 5.1.3.9

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \cos^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 5.1.3.9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \cos^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 5.1.3.9.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 5.1.3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.10.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \cdot 1^{2} \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 5.1.3.10.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \cdot 1 \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 5.1.3.10.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 5.1.3.10.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{- 2 \cdot 0 + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 5.1.3.10.1.5

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0 + \cos^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 5.1.3.10.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0 + 0^{3}}$

Passaggio 5.1.3.10.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 5.1.3.10.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.3.10.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.3.11

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)}{- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.6

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Sposta $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.8

Riscrivi $- 1 \sin^{3} (x)$ come $- \sin^{3} (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.3.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{1} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.4.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.5.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \cdot - 1 \sin^{3} (x) + 6 \cdot 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{6 \cdot - 1 \sin^{3} (x) + 6 \cdot 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cdot - 1 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.6.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 6 \sin^{3} (x) + 6 \cdot 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cdot - 1 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.6.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cdot - 1 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.6.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.6.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.6

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.6.1

Sposta $\sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.6.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.6.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.8

Riscrivi $- 1 \sin^{3} (x)$ come $- \sin^{3} (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.8.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Passaggio 5.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (x)$ .

Passaggio 5.3.9.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 5.3.9.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 5.3.9.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

Passaggio 5.3.9.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 5.3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 2 \cdot - 1 \sin^{3} (x) - 2 \cdot 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 5.3.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{2 \sin^{3} (x) - 2 \cdot 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 5.3.10.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{2 \sin^{3} (x) - 4 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 5.3.10.2.3

Riordina i fattori di $- 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{2 \sin^{3} (x) - 4 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 5.3.10.2.4

Sottrai $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ da $- 4 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{2 \sin^{3} (x) - 7 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Passaggio 5.3.10.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{- 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.3

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.5

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 6 \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.8

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{3} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.9

Sposta l'esponente $3$ da $\sin^{3} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{3} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.11

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.12

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.13

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.14

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.15

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.16

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.17

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.18

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.19

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{2}} 7 \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.20

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.21

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.22

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.23

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.24

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.25

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{3} (x)}$

Passaggio 6.26

Sposta l'esponente $3$ da $\sin^{3} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 6.27

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 7

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 7.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 7.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 7.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 7.6

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 7.7

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 7.8

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 7.9

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \cdot 0^{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \cdot 0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $12$ per $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 \cdot 1^{3} - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 \cdot 1 - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.9

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 - 2 \cdot 0^{2} + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 - 2 \cdot 0 + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.11

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.12

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.13

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 \cdot 1 + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.14

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 + 2 \sin (\frac{π}{2})}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.15

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 + 2 \cdot 1}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.16

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 6 + 0 + 2 + 2}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.17

Sottrai $6$ da $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 + 0 + 2 + 2}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.18

Somma $- 6$ e $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 + 2 + 2}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.19

Somma $- 6$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 + 2}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.2.20

Somma $- 4$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 7 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 7 \cdot 0^{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 7 \cdot 0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.3.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot 1 + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 2 \sin^{3} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 8.3.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 2 \cdot 1^{3}}$

Passaggio 8.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 2 \cdot 1}$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 2}$

Passaggio 8.3.9

Somma $0$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{2}$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 8.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Passaggio 8.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{1}$

Passaggio 8.4.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 8.5

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 8.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$