Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{8 \cos (x)}{\cot (x)}$

Passaggio 1

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$8 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$8 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Passaggio 2.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$8 \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$8 \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Passaggio 2.1.3.3

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$8 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$8 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$8 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \csc^{2} (x)}$

Passaggio 2.4

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

Passaggio 3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

Passaggio 3.3

Sposta l'esponente $2$ da $\csc^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la cosecante è continua.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$8 \frac{1}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$8 \frac{1}{1^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 (\frac{1}{1})$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$8 (\frac{1}{1})$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$8 \cdot 1$

Passaggio 5.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8$