Calcolo Esempi

\frac{lim x \to 8 10^{8} x^{5} + 10^{6} x^{4} + 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{lim_{x \to 8} 10^{8} x^{5} + 10^{6} x^{4} + 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

x

$x$ tende a

8

$8$ .

\frac{lim x \to 8 10^{8} x^{5} + lim x \to 8 10^{6} x^{4} + lim x \to 8 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{lim_{x \to 8} 10^{8} x^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 2

Sposta il termine

10^{8}

$10^{8}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

x

$x$ .

\frac{10^{8} lim x \to 8 x^{5} + lim x \to 8 10^{6} x^{4} + lim x \to 8 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{10^{8} lim_{x \to 8} x^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 3

Sposta l'esponente

5

$5$ da

x^{5}

$x^{5}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

\frac{10^{8} {(lim x \to 8 x)}^{5} + lim x \to 8 10^{6} x^{4} + lim x \to 8 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 4

Sposta il termine

10^{6}

$10^{6}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

x

$x$ .

\frac{10^{8} {(lim x \to 8 x)}^{5} + 10^{6} lim x \to 8 x^{4} + lim x \to 8 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 5

Sposta l'esponente

4

$4$ da

x^{4}

$x^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

\frac{10^{8} {(lim x \to 8 x)}^{5} + 10^{6} {(lim x \to 8 x)}^{4} + lim x \to 8 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 6

Sposta il termine

10^{4}

$10^{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

x

$x$ .

\frac{10^{8} {(lim x \to 8 x)}^{5} + 10^{6} {(lim x \to 8 x)}^{4} + 10^{4} lim x \to 8 x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} lim_{x \to 8} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 7

Sposta l'esponente

2

$2$ da

x^{2}

$x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

\frac{10^{8} {(lim x \to 8 x)}^{5} + 10^{6} {(lim x \to 8 x)}^{4} + 10^{4} {(lim x \to 8 x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 8

Calcola il limite inserendo

8

$8$ per tutte le occorrenze di

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

8

$8$ per

x

$x$ .

\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} {(lim x \to 8 x)}^{4} + 10^{4} {(lim x \to 8 x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

8

$8$ per

x

$x$ .

\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} {(lim x \to 8 x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 8.3

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

8

$8$ per

x

$x$ .

\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva

$10$ alla potenza di

$8$ .

$\frac{100000000 \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva

$8$ alla potenza di

$5$ .

$\frac{100000000 \cdot 32768 + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica

$100000000$ per

$32768$ .

$\frac{3276800000000 + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.1.4

Eleva

$10$ alla potenza di

$6$ .

$\frac{3276800000000 + 1000000 \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.1.5

Eleva

$8$ alla potenza di

$4$ .

$\frac{3276800000000 + 1000000 \cdot 4096 + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica

$1000000$ per

$4096$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.1.7

Eleva

$10$ alla potenza di

$4$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10000 \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.1.8

Eleva

$8$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10000 \cdot 64}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.1.9

Moltiplica

$10000$ per

$64$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.1.10

Somma

$3276800000000$ e

$4096000000$ .

$\frac{3280896000000 + 640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.1.11

Somma

$3280896000000$ e

$640000$ .

$\frac{3280896640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi

$10^{5} x^{3}$ da

$10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Scomponi

$10^{5} x^{3}$ da

$10^{9} x^{6}$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.2.1.2

Scomponi

$10^{5} x^{3}$ da

$10^{7} x^{5}$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3}}$

Passaggio 9.2.1.3

Scomponi

$10^{5} x^{3}$ da

$10^{5} x^{3}$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)}$

Passaggio 9.2.1.4

Scomponi

$10^{5} x^{3}$ da

$10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2})$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)}$

Passaggio 9.2.1.5

Scomponi

$10^{5} x^{3}$ da

$10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2} + 1)}$

Passaggio 9.2.2

Eleva

$10$ alla potenza di

$4$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10000 x^{3} + 10^{2} x^{2} + 1)}$

Passaggio 9.2.3

Eleva

$10$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1)}$

Passaggio 9.2.4

Scomponi

$10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma

$\frac{p}{q}$ , dove

$p$ è un fattore della costante e

$q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 10000, \pm 2, \pm 5000, \pm 4, \pm 2500, \pm 5, \pm 2000, \pm 8, \pm 1250, \pm 10, \pm 1000, \pm 16, \pm 625, \pm 20, \pm 500, \pm 25, \pm 400, \pm 40, \pm 250, \pm 50, \pm 200, \pm 80, \pm 125, \pm 100$

Passaggio 9.2.4.2

Trova ciascuna combinazione di

$\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.0001, \pm 0.5, \pm 0.0002, \pm 0.25, \pm 0.0004, \pm 0.2, \pm 0.0005, \pm 0.125, \pm 0.0008, \pm 0.1, \pm 0.001, \pm 0.0625, \pm 0.0016, \pm 0.05, \pm 0.002, \pm 0.04, \pm 0.0025, \pm 0.025, \pm 0.004, \pm 0.02, \pm 0.005, \pm 0.0125, \pm 0.008, \pm 0.01$

Passaggio 9.2.4.3

Sostituisci

$- 0.05$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a

$0$ quindi

$- 0.05$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.3.1

Sostituisci

$- 0.05$ nel polinomio.

$10000 {(- 0.05)}^{3} + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

Passaggio 9.2.4.3.2

Eleva

$- 0.05$ alla potenza di

$3$ .

$10000 \cdot - 0.000125 + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

Passaggio 9.2.4.3.3

Moltiplica

$10000$ per

$- 0.000125$ .

$- 1.25 + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

Passaggio 9.2.4.3.4

Eleva

$- 0.05$ alla potenza di

$2$ .

$- 1.25 + 100 \cdot 0.0025 + 1$

Passaggio 9.2.4.3.5

Moltiplica

$100$ per

$0.0025$ .

$- 1.25 + 0.25 + 1$

Passaggio 9.2.4.3.6

Somma

$- 1.25$ e

$0.25$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 9.2.4.3.7

Somma

$- 1$ e

$1$ .

$0$

Passaggio 9.2.4.4

Poiché

$- 0.05$ è una radice nota, dividi il polinomio per

$20 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1}{20 x + 1}$

Passaggio 9.2.4.5

Dividi

$10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ per

$20 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

$0$ .

$20 x$

$1$

$10000 x^{3}$

$100 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 9.2.4.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$10000 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$20 x$ .

					$500 x^{2}$
	$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Passaggio 9.2.4.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$10000 x^{3}$	+	$500 x^{2}$

Passaggio 9.2.4.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$10000 x^{3} + 500 x^{2}$

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$

Passaggio 9.2.4.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$

Passaggio 9.2.4.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 9.2.4.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$- 400 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$20 x$ .

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 9.2.4.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$400 x^{2}$	-	$20 x$

Passaggio 9.2.4.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$- 400 x^{2} - 20 x$

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$

Passaggio 9.2.4.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$

Passaggio 9.2.4.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$

Passaggio 9.2.4.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$20 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$20 x$ .

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$

Passaggio 9.2.4.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							+	$20 x$	+	$1$

Passaggio 9.2.4.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$20 x + 1$

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							-	$20 x$	-	$1$

Passaggio 9.2.4.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							-	$20 x$	-	$1$
										$0$

Passaggio 9.2.4.5.16

Poiché il resto è

$0$ , la risposta finale è il quoziente.

$500 x^{2} - 20 x + 1$

Passaggio 9.2.4.6

Scrivi

$10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ come insieme di fattori.

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} ((20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

Passaggio 9.2.5

Eleva

$10$ alla potenza di

$5$ .

$\frac{3280896640000}{100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di

$3280896640000$ e

$100000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scomponi

$20000$ da

$3280896640000$ .

$\frac{20000 (164044832)}{100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

Passaggio 9.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi

$20000$ da

$100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)$ .

$\frac{20000 (164044832)}{20000 (5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{20000 \cdot 164044832}{20000 (5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

Passaggio 9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{164044832}{5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$