Calcolo Esempi

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 4

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{3 \sqrt{512} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi $512$ come $16^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $256$ da $512$ .

$\frac{3 \sqrt{256 (2)} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 7.1.2.2

Riscrivi $256$ come $16^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{16^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 7.1.3

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 (16 \sqrt{2}) + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Riscrivi $2 x^{3}$ come $x^{2} \cdot (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Metti in evidenza $x^{2}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 (x^{2} x)}}$

Passaggio 7.2.1.2

Riordina $2$ e $x^{2}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot 2 x}}$

Passaggio 7.2.1.3

Aggiungi le parentesi.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot (2 x)}}$

Passaggio 7.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ per $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$

Passaggio 7.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ per $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}}$

Passaggio 7.4.2

Sposta $\sqrt{2 x}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (\sqrt{2 x} \sqrt{2 x})}$

Passaggio 7.4.3

Eleva $\sqrt{2 x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x})}$

Passaggio 7.4.4

Eleva $\sqrt{2 x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1})}$

Passaggio 7.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{2}}$

Passaggio 7.4.7

Riscrivi ${\sqrt{2 x}}^{2}$ come $2 x$ .

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Passaggio 7.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.4.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{1}}$

Passaggio 7.4.7.5

Semplifica.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (2 x)}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \cdot x \cdot 2}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x^{2} \cdot 2}$

Passaggio 7.6

Elimina il fattore comune di $48 \sqrt{2} + 24$ e $2$ .

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Passaggio 7.6.1

Scomponi $2$ da $(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}$ .

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{x^{2} \cdot 2}$

Passaggio 7.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.1

Scomponi $2$ da $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

Passaggio 7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

Passaggio 7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Passaggio 7.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{24 \sqrt{2} \sqrt{2 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Passaggio 7.8

Moltiplica $24 \sqrt{2} \sqrt{2 x}$ .

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Passaggio 7.8.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{24 \sqrt{2 x \cdot 2} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{24 \sqrt{4 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Passaggio 7.9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{24 \sqrt{2^{2} x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Passaggio 7.9.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{24 (2 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Passaggio 7.9.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$\frac{48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Passaggio 7.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.10.1

Scomponi $12$ da $48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.1.1

Scomponi $12$ da $48 \sqrt{x}$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Passaggio 7.10.1.2

Scomponi $12$ da $12 \sqrt{2 x}$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Passaggio 7.10.1.3

Scomponi $12$ da $12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Passaggio 7.10.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Passaggio 7.10.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 7.10.4

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 7.10.5

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 7.10.5.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 7.10.5.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 7.10.5.3

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}}))}{x^{2}}$

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 7.11

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.12

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 - \frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.12.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.12.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Passaggio 7.12.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.12.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}$

Passaggio 7.12.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$