Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (\cos (x) + \sin (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.6.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.6.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x) + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x) + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(- \sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6.3

$\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ e $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6.4

$\cos (x)$ e $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6.6

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6.7

Scomponi $- 1$ da $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) - 1 \cdot - 1 \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6.8

Scomponi $- 1$ da $- (\sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6.9

Riscrivi $- (\sin (x) - \cos (x))$ come $- 1 (\sin (x) - \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Passaggio 4.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Passaggio 4.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Passaggio 4.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Passaggio 4.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Passaggio 4.8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- \frac{0 - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Passaggio 6.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{- \frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{- \frac{0 - 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Passaggio 6.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{- \frac{- 1}{1 + \sin (0)}}$

Passaggio 6.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{1 + 0}}$

Passaggio 6.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{1}}$

Passaggio 6.3

Dividi $- 1$ per $1$ .

$e^{- - 1}$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{1}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$e$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e$

Forma decimale:

$2.71828182 \dots$