Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (8 x)}$

Passaggio 1

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (8 x)}$ a $\csc^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (8 x)$

Passaggio 2

Riscrivi $x^{2} \csc^{2} (8 x)$ come $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 3

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 4

Risolvi il limite sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 4.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 4.1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 4.1.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 4.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

Passaggio 4.1.1.3.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.1.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Passaggio 4.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \csc (8 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Passaggio 4.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 4.1.3.4.2

La derivata di $\csc (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 4.1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 4.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 4.1.3.6

Eleva $\csc (8 x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 4.1.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 4.1.3.8

Sottrai $3$ da $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 4.1.3.9

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 4.1.3.10

Moltiplica $8$ per $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.1.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.12

Moltiplica $16$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

Passaggio 4.1.3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.13.1

Riscrivi $\csc (8 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

Passaggio 4.1.3.13.2

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

Passaggio 4.1.3.13.3

Riscrivi $\cot (8 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Passaggio 4.1.3.13.4

Elimina il fattore comune di $\sin (8 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.13.4.1

Scomponi $\sin (8 x)$ da $16 \sin^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Passaggio 4.1.3.13.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Passaggio 4.1.3.13.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Passaggio 4.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Passaggio 4.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Passaggio 4.1.5

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

Passaggio 4.1.6

Converti da $\frac{1}{\sin (8 x)}$ a $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

Passaggio 4.1.7

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

Passaggio 4.1.8

Converti da $\frac{1}{\cos (8 x)}$ a $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

Passaggio 4.1.9

$\frac{x}{8}$ e $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

Passaggio 4.1.10

$\frac{x \sec (8 x)}{8}$ e $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $\frac{1}{8}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

Passaggio 4.3

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ - 0.1 & 0.20008531 \\ - 0.01 & 0.12553493 \\ - 0.001 & 0.12500533 \\ - 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

Passaggio 4.4

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0.125$ . Di conseguenza, il limite di $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $0.125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $0.125$ da $8$ .

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

Passaggio 4.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

Passaggio 4.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{64}$

Passaggio 5

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 6

Risolvi il limite destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 6.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 6.1.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Passaggio 6.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.1.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Passaggio 6.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Passaggio 6.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \csc (8 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Passaggio 6.1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Passaggio 6.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Passaggio 6.1.3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 6.1.3.4.2

La derivata di $\csc (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 6.1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 6.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 6.1.3.6

Eleva $\csc (8 x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 6.1.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 6.1.3.8

Sottrai $3$ da $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Passaggio 6.1.3.9

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 6.1.3.10

Moltiplica $8$ per $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.1.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3.12

Moltiplica $16$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

Passaggio 6.1.3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.13.1

Riscrivi $\csc (8 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

Passaggio 6.1.3.13.2

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

Passaggio 6.1.3.13.3

Riscrivi $\cot (8 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Passaggio 6.1.3.13.4

Elimina il fattore comune di $\sin (8 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.13.4.1

Scomponi $\sin (8 x)$ da $16 \sin^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Passaggio 6.1.3.13.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Passaggio 6.1.3.13.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Passaggio 6.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Passaggio 6.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Passaggio 6.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Passaggio 6.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Passaggio 6.1.5

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

Passaggio 6.1.6

Converti da $\frac{1}{\sin (8 x)}$ a $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

Passaggio 6.1.7

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

Passaggio 6.1.8

Converti da $\frac{1}{\cos (8 x)}$ a $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

Passaggio 6.1.9

$\frac{x}{8}$ e $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

Passaggio 6.1.10

$\frac{x \sec (8 x)}{8}$ e $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

Passaggio 6.2

Sposta il termine $\frac{1}{8}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

Passaggio 6.3

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ 0.1 & 0.20008531 \\ 0.01 & 0.12553493 \\ 0.001 & 0.12500533 \\ 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

Passaggio 6.4

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0.125$ . Di conseguenza, il limite di $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $0.125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi $0.125$ da $8$ .

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

Passaggio 6.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

Passaggio 6.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{64}$

Passaggio 7

Poiché il limite sinistro è uguale al limite destro, il limite è uguale a $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{64}$

Forma decimale:

$0.015625$