Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 1

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (3 x)}$ a $\csc^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (3 x)$

Passaggio 2

Riscrivi $x^{2} \csc^{2} (3 x)$ come $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 3

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 4

Risolvi il limite sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 4.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 4.1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 4.1.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 4.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

Passaggio 4.1.1.3.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.1.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Passaggio 4.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \csc (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Passaggio 4.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 4.1.3.4.2

La derivata di $\csc (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 4.1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 4.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 4.1.3.6

Eleva $\csc (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 4.1.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 4.1.3.8

Sottrai $3$ da $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 4.1.3.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 4.1.3.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.1.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.12

Moltiplica $6$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

Passaggio 4.1.3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.13.1

Riscrivi $\csc (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

Passaggio 4.1.3.13.2

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

Passaggio 4.1.3.13.3

Riscrivi $\cot (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Passaggio 4.1.3.13.4

Elimina il fattore comune di $\sin (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.13.4.1

Scomponi $\sin (3 x)$ da $6 \sin^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Passaggio 4.1.3.13.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Passaggio 4.1.3.13.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Passaggio 4.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Passaggio 4.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Passaggio 4.1.5

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Passaggio 4.1.6

Converti da $\frac{1}{\sin (3 x)}$ a $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

Passaggio 4.1.7

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

Passaggio 4.1.8

Converti da $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

Passaggio 4.1.9

$\frac{x}{3}$ e $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

Passaggio 4.1.10

$\frac{x \sec (3 x)}{3}$ e $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

Passaggio 4.3

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ - 0.1 & 0.35420643 \\ - 0.01 & 0.33353341 \\ - 0.001 & 0.33333533 \\ - 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

Passaggio 4.4

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0.333$ . Di conseguenza, il limite di $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $0.333$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

Passaggio 4.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

$\frac{1}{3}$ e $0.333$ .

$\frac{0.333}{3}$

Passaggio 4.5.2

Dividi $0.333$ per $3$ .

$0.111$

Passaggio 5

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 6

Risolvi il limite destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 6.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 6.1.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Passaggio 6.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.1.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Passaggio 6.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Passaggio 6.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \csc (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Passaggio 6.1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Passaggio 6.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Passaggio 6.1.3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 6.1.3.4.2

La derivata di $\csc (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 6.1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 6.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 6.1.3.6

Eleva $\csc (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 6.1.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 6.1.3.8

Sottrai $3$ da $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 6.1.3.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 6.1.3.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.1.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3.12

Moltiplica $6$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

Passaggio 6.1.3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.13.1

Riscrivi $\csc (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

Passaggio 6.1.3.13.2

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

Passaggio 6.1.3.13.3

Riscrivi $\cot (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Passaggio 6.1.3.13.4

Elimina il fattore comune di $\sin (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.13.4.1

Scomponi $\sin (3 x)$ da $6 \sin^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Passaggio 6.1.3.13.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Passaggio 6.1.3.13.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Passaggio 6.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Passaggio 6.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Passaggio 6.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Passaggio 6.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Passaggio 6.1.5

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Passaggio 6.1.6

Converti da $\frac{1}{\sin (3 x)}$ a $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

Passaggio 6.1.7

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

Passaggio 6.1.8

Converti da $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

Passaggio 6.1.9

$\frac{x}{3}$ e $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

Passaggio 6.1.10

$\frac{x \sec (3 x)}{3}$ e $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

Passaggio 6.2

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

Passaggio 6.3

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ 0.1 & 0.35420643 \\ 0.01 & 0.33353341 \\ 0.001 & 0.33333533 \\ 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

Passaggio 6.4

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0.333$ . Di conseguenza, il limite di $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $0.333$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

Passaggio 6.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

$\frac{1}{3}$ e $0.333$ .

$\frac{0.333}{3}$

Passaggio 6.5.2

Dividi $0.333$ per $3$ .

$0.111$

Passaggio 7

Poiché il limite sinistro è uguale al limite destro, il limite è uguale a $0.111$ .

$0.111$