Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.8

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.9

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.10

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 \cdot 0} - \sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 \cdot 0} - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.11.1.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.11.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.11.1.4

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.11.1.6

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.11.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.11.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + 2 x}$ come ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 + 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.13

Somma $0$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.14

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.15

$\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.16

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.17

Sposta ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.18

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.19

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - 4 x}$ come ${(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 - 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 4 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.13

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 4))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.14

Sottrai $4$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.15

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.16

$\frac{{(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 4}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.17

Sposta $- 4$ alla sinistra di ${(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 4 \cdot {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.18

Sposta ${(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 4}{2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.19

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot - 2}{2 ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.20.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.20.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - - \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.22

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.23

Moltiplica $\frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.4

Converti gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{1 + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi ${(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{1 - 4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}}{1}$

Passaggio 1.5

Dividi $\frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2.7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2.8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2.9

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2.10

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}$

Passaggio 2.11

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 4 x}}$

Passaggio 2.12

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x}}$

Passaggio 2.13

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} 4 x}}$

Passaggio 2.14

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

Passaggio 4.1.1.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

Passaggio 4.1.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{1} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

Passaggio 4.1.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1 + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$1 + 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$1 + 2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 4.1.3.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$1 + 2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 + 2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + 2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$1 + 2$

Passaggio 4.2

Somma $1$ e $2$ .

$3$