Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.6.2.1.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{1 - x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x}$ come ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 1.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.13

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.14

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.15

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.16

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.17

Riscrivi $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ come $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.18

Sposta ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} \cdot 1$

Passaggio 1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x}}$

Passaggio 2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 2.8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 2.8.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.8.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.8.2.1.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 2.8.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 2.8.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 2.8.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 2.8.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.8.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.5$