Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 1

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 2

Calcola i limiti inserendo il valore al posto della variabile.

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Passaggio 2.1

Calcola il limite di $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ è indefinito, il limite non esiste.

$Non esiste$

Passaggio 3

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4

Risolvi il limite destro.

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Passaggio 4.1

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.1.2

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.1.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $x^{x}$ come $e^{\ln (x^{x})}$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.2.2

Espandi $\ln (x^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.3

Sposta il limite nell'esponente.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $x \ln (x)$ come $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (x)$ diminuisce senza limite.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.1.3

Poiché il numeratore è una costante e il denominatore tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ da destra, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a infinito.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 4.5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.3.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.3.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.5

$\frac{1}{x}$ e $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 4.5.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.5.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.5.6.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.6

Calcola il limite.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Passaggio 4.7

Poiché il numeratore è positivo e il denominatore $x$ tende a zero ed è maggiore di zero per $x$ vicino a $0$ a destra, la funzione aumenta senza limite.

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

Passaggio 4.8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.8.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Passaggio 4.8.1.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 4.8.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Passaggio 4.8.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$9 \cdot 1 - \infty$

Passaggio 4.8.1.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 - \infty$

Passaggio 4.8.1.4

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$9 + - \infty$

Passaggio 4.8.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$- \infty$

Passaggio 5

Se uno dei due limiti unilateri non esiste, il limite non esiste.

$Non esiste$