Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{2 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\tan^{2} (3 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \tan (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i fattori di $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Passaggio 3.3

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (3 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot 6 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Passaggio 3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Passaggio 3.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Passaggio 3.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 3 x)$

Passaggio 3.7

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (3)) \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3) \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$3 \sec^{2} (0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Passaggio 5.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$3 \cdot 1^{2} \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Passaggio 5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Passaggio 5.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Passaggio 5.6

Moltiplica $3$ per $0$ .

$3 \cdot \tan (0)$

Passaggio 5.7

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$3 \cdot 0$

Passaggio 5.8

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0$