Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{4 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.8.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.8.1.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.8.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.8.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + (x - 1) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.7

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5.2.3

Somma $0$ e $x (- \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 3.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (0))$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot 0 + \sin (0) + \cos (0))$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \sin (0) + \cos (0))$

Passaggio 5.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 + \cos (0))$

Passaggio 5.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 + 1)$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 1)$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 5.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$