Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 1

Calcola il limite di $\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $t^{\frac{1}{2}}$ da $t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $t^{\frac{1}{2}}$ da $t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $t^{\frac{1}{2}}$ da $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $t^{\frac{3}{2}}$ come ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica.

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Passaggio 2.1.6.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2

Riscrivi $- 1 t^{\frac{1}{2}}$ come $- t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.6.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.6.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.1.6.4

Semplifica.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{2 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{2 t - t^{2}}$

Passaggio 2.2

Scomponi $t$ da $2 t - t^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $t$ da $2 t$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 2 - t^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $t$ da $- t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 2 + t (- t)}$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $t$ da $t \cdot 2 + t (- t)$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (2 - t)}$

Passaggio 2.3

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (2 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.1

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (2 - t)}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $t^{- \frac{1}{2}}$ per $t$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (2 - t)}$

Passaggio 2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (2 - t)}$

Passaggio 2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 - t)}$

Passaggio 2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 - t)}$

Passaggio 2.4.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (2 - t)}$