Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Calcola il limite di $\arctan (x)$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 - \arctan (0)}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.1.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \arctan (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Passaggio 1.3.5.2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica.

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Passaggio 1.3.6.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.6.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.3.6.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2} - 1}{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.3.6.1.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2} + 0}{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.3.6.1.4

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.3.6.2

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} 3 x^{2} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Combina i fattori.

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Passaggio 1.5.1

$3$ e $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

$x^{2}$ e $\frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $3 (x^{2} + 1)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 3 (x^{2} + 1)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$3 (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Passaggio 2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 (0^{2} + 1)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 (0 + 1)$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$